1. Hitunglah nilai sin 75° dengan menggunakan
perbandingan trigonometri untuk sudut 45° dan 30°
Jawab :
Sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
=
=
=
2. Hitunglah nilai cos 15° tanpa menggunakan
tabel atau kalkulator :
Jawab :
Cos 15° = cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
=
=
=
3. Sederhanakan persamaan y = cos
(x + n) !
Jawab :
Kita jabarkan bentuk cos (x + n) sebagai
berikut
Y = cos (x + n)
= cos
x cos n – sin x sin n
= cos
x (-1) – sin (0)
Y = - cos x
4. Buktikan
= cot
x +
tan y !
Jawab :
=
=
cot x + tan y
=
+
=
= cot x + tan y
(terbukti)
5. Buktikan bahwa jika x + y 45° . maka tan x =
Jawab :
Karena
x + y = 45°, maka x
= 45° - y sehingga tan x = tan
(45° - y)
Tan x =
=
=
(Terbukti)
6. Jika α, β dan y adalah sudut-sudut pada
segitiga, buktikan bahwa tan α + tan
β + tan y (=)
tan α tan β tan y
Jawab :
Karena α, β dan y adalah sudut-sudut pada
segitiga, maka
maka α + β + y = 180° (=) cos α + β = 180° - y
Sehingga tan (α + β) = tan
(180° - y)
=
=
=
Tan α + tan β = - tan y + tan α tan β
tan y
Tan α + tan β + tan y = Tan
α tan β
tan y (Terbukti)
7. Pada segitiga lancip ABC dengan sudut-sudutnya
α, β, dan y berlaku sin α =
dan tan β =
Tentukan nilai sin y
Jawab :
Dari sin α =
dan tan β =
maka :
Sin α =
, cos α =
, sin β =
,
cos β =
Selanjutnya karena α,
β, dan y adalah sudut-sudut pada segitiga,
maka berlaku α + β + y = 180° (=) α
+ β =
180° - y
Sehingga sin (α + β) = sin
(180° -y)
Sin α cos β
+ cos α sin β = sin 180° cos y – cos 180° sin y
Sin α cos β
+ cos α sin β = 0 (cos y) – (-1) (sin y)
Sin α cos β
+ cos α sin β = sin y
Jadi
sin y =
+
=
+
=
.
=
(
+
)
Sin y =
(
+
)
8. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator,
hitunglah cos 105° cos 15°!
Jawab :
cos 105° cos 15° =
(2 cos 105° cos 15°)
=
[cos (105° + 15°) + cos (105° – 15° )]
=
(cos 120° + cos 90°)
=
(-
+ 0)
= -
9. Buktikan bahwa 2 cos (2x + 45°) cos (2x - 45°)
= cos 4x
Jawab :
2 cos (2x+45°) cos
(2x-45°) = cos 4x = cos (2x+45°+2x-45°) + cos
(2x+45°-2x+45°)
= cos 4x + cos 90°
= cos 4x + 0
= cos 4x (Terbukti)
10. Hitunglah nilai dari 4 cos 105° sin 75° !
Jawab :
4 cos 105° sin 75° = 2 [2cos 105° sin
75°]
= 2 [sin (105° + 75°) – sin (105° - 75°)]
= 2 (sin 180° - sin 30°)
= 2 (0 – ½)
= -1
11. Tentukan nilai cos 10° + cos 110° + cos 130°
Jawab :
cos 10° + cos 110° + cos 130°
=
cos 10° + (cos 130° + cos 110°)
=
cos 10° + 2 cos ½ (130° + 110°) cos ½ (130° – 110°)
=
cos 10° + 2 cos 120° cos 10°
=
cos 10° + 2 (-1/2) cos 10°
=
cos 10° – cos 10°
=
0
12. Buktikan
=
tan 3x
Jawab :
=
=
=
=
= tan 3x (Terbukti)
13. Nyatakan bentuk cos (2x + 60°) + cos (2x –
60°) sebagai perkalian sinus dan cosines !
Jawab :
cos (2x + 60°) + cos (2x – 60°)
= 2
cos ½ (2x + 60° + 2x – 60°) cos ½ (2x + 60° – 2x + 60°)
= 2
cos ½ (4x) cos ½ (120°)
= 2
cos 2x cos 60°
14. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator.
Hitunglah nilai dari cos 165° + cos 105° !
Jawab :
Cos 165° + cos 105° = 2
cos ½ (165° + 105°) . cos ½ (165° – 105°)
= 2 cos 135° cos 30°
= 2 (-1/2
)
(1/2
= -1/2
15. Diketahui α + β =
dan cos α cos β =
Tentukan nilai cos (α-β) !
Jawab :
cos α cos β =
(2 cos α cos β) =
[cos (α+β) + cos (α-β)] =
[cos
+
cos (α-β)] =
[
+
cos (α-β)] =
+
cos (α-β) =
cos (α-β) =
cos (α-β) = 1
16. hitunglah nilai dari 2 sin 195° sin 15° !
Jawab :
2 sin 195° sin 15° = - [cos (195° +
15°) – cos (195° – 15°)]
= - (cos 210° – cos 180°)
= - (-1/2
+
1)
= ½
-
1
17.
Hitunglah nilai dari cos 195° – cos 75° !
Jawab :
cos 195° – cos 75° = -2 sin ½ (195° +
75°) sin ½ (195° – 75°)
= -2 sin 135° sin 60°
= (-2) (1/2
) (1/2
)
= 1/2
18. Hitunglah nilai sin 10° sin 30° sin 50° sin
70°
Jawab :
Sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
= sin
10° sin 30° (-1/2) (-2 sin 70° – sin 50°)
= sin
10° sin 30° (-1/2) (cos 120° – cos 20°)
= sin
10° sin 30° (-1/2) (-1/2 – cos 20°)
= sin
10° sin 30° (1/4 + ½ cos 20°)
= ¼
sin 10° sin 30° + ½ sin 10° sin 30° cos 20°
= 1/8
sin 10° + ¼ cos 20° sin 10°
= 1/8
sin 10° + 1/8 (2 cos 20° sin 10°)
= 1/8
sin 10° + 1/8 (sin 30° – sin 10°)
= 1/8
sin 10° + 1/8 sin 30° – 1/8 sin 10°
= 1/8
sin 30°
= 1/16
19. Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya α, β,
dan y. Jika berlaku sin y = tan β (1 – cos y) !
Buktikan bahwa segitiga ABC sama kaki !
Jawab :
Sin y = tan β (1 – cos y)
Sin y =
(1 – cos y)
Sin y cos β = sin β – sin β cos y
Sin β cos y + cos β sin y = sin
β
Sin (β + y) = sin
β
Sin (180 – α) = sin
β
Sin α = sin β
α = β
Karena dua sudutnya sama besar, maka
segitiga ABC sama kaki.
20. Dengan menyatakan 3α = 2α + α, buktikan sin 3α
= 3 sin α – 4 sin3 α.
Jawab :
sin 3α = sin (2α + α)
= sin 2α cos α + cos 2α sin α
= (2 sin α cos α) cos α + (1 – 2 sin2 α) sin α
= 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin3 α
= 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin3 α
= 2 sin α - 2 sin3 α + sin α – 2 sin3 α
= 3 sin α - 4 sin3 α (Terbukti)
21. Buktikan bahwa
= tan2 (1/2 Ѳ)
Jawab :
=
=
=
= tan2 (1/2 Ѳ) (Terbukti)
22. Misal tan 5° = P
Tunjukkan bahwa tan 140° =
Jawab :
Tan 140° = tan (135° + tan 5°)
=
=
=
(Terbukti)
23. Nyatakan bentuk 3 cos (x + y) cos (x – y)
sebagai jumlah atau selisih sinus kosinus !
3 cos (x+y) cos (x-y) =
[2 cos (x+y) cos (x-y)]
=
[cos (x+y+x-y) + cos (x+y-x+y)]
=
(cos 2x +
cos 2y)
24. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin
(x + 90) + sin (x – 30) =
untuk 0° ≤ x ≤ 360° !
Jawab :
Sin (x + 90°) + sin (x – 30°) =
2 sin
(x
+ 90° + x – 30°) cos
(x
+ 90° – x + 30°) =
2 sin
(x + 30°) cos 60° =
2 sin (x – 130°) (
) =
Sin (x + 30°) =
Sinus bertanda positif di kuadran I dan
II sehingga nilai x yang memenuhi adalah
X + 30° = 60° atau x + 30° = 180° – 60°
X = 30°
atau x = 90°
25. Diketahui f(x)
= 315 + 2 cos x cos (x-60)
Tentukan nilaui minimum dan maksimum f(x)
Jawab :
f(x) = 315 + 2 cos x cos (x-60)
= 315 + cos (x + x - 60) + cos (x – x + 60)
= 315 + cos (2x – 60) + cos 60
= 315 + 60 (2x – 60) + 0,5
f(x) = cos (2x – 60) + 4
Selanjutnya untuk sembarang nilai x
berlaku : -1 ≤ cos (2x + 60) ≤ 1
-1 + 4 ≤ cos (2x – 60) + 4 ≤ 1 + 4
3 ≤ cos (2x – 60) + 4 ≤ 5
3 ≤ f(x) ≤ 5
Dari bentuk terakhor kita simpulkanm
bahwa nilai minimum f(x) adalah 3 dan
nilai maksimum f(x) adalah 5
Tidak ada komentar:
Posting Komentar