Rabu, 30 Mei 2012

soal-soal matematika


1.  Hitunglah nilai sin 75° dengan menggunakan perbandingan trigonometri untuk sudut 45° dan 30°
     Jawab :
     Sin 75°        =          sin (45° + 30°)
                        =          sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
                        =         
                        =         
                        =         
2.  Hitunglah nilai cos 15° tanpa menggunakan tabel atau kalkulator :
     Jawab :
     Cos 15°      =          cos (45° + 30°)
                        =          cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
                        =           
                        =         
                        =         
3.  Sederhanakan persamaan y  =  cos (x + n) !
     Jawab :
     Kita jabarkan bentuk cos (x + n) sebagai berikut
     Y       =       cos (x + n)
              =       cos x cos n – sin x sin n
              =       cos x (-1) – sin (0)
     Y       =       - cos x

4.  Buktikan  =   cot x  +  tan y !
     Jawab :
         =       =    cot x  +  tan y
                        =        +  
                        =    
                        =     cot x  +  tan y  (terbukti)
5.  Buktikan bahwa jika x + y  45° . maka tan x =
     Jawab :
     Karena  x + y  = 45°, maka  x  =  45° - y sehingga tan x = tan (45° - y)
     Tan x          =    
                        =    
                        =            (Terbukti)
6.  Jika α, β dan y adalah sudut-sudut pada segitiga, buktikan bahwa  tan α + tan β  + tan y  (=)  tan α  tan β   tan y
     Jawab :
     Karena α, β dan y adalah sudut-sudut pada segitiga,  maka
     maka α + β + y = 180°  (=) cos α + β = 180° - y
     Sehingga tan (α + β)   =  tan (180° - y)
            =  
            =  
            =  
     Tan α + tan β     =   - tan y + tan α  tan β  tan y
     Tan α + tan β + tan y          =          Tan α  tan β  tan y  (Terbukti)

7.  Pada segitiga lancip ABC dengan sudut-sudutnya α, β, dan y berlaku sin α =   dan tan β =   Tentukan nilai sin y
     Jawab :
     Dari sin α =    dan tan β =   maka :
     Sin α =    , cos α =      , sin β =   , cos β =   
     Selanjutnya karena α, β, dan y adalah sudut-sudut pada segitiga,
     maka berlaku α + β + y = 180°  (=)  α + β  =  180° - y
     Sehingga sin (α + β)  =  sin (180° -y)
            Sin α  cos β  +  cos α  sin β       =     sin 180° cos y – cos 180°  sin y
            Sin α  cos β  +  cos α  sin β       =     0 (cos y) – (-1) (sin y)
            Sin α  cos β  +  cos α  sin β       =     sin y
Jadi sin y         =         + 
                        =        +  
                        =       .  
                        =       (   +    )
            Sin y    =       (   +    )
8.  Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah cos 105°  cos 15°!
     Jawab :
     cos 105°  cos 15°      =       (2 cos 105°  cos 15°)
                                      =       [cos (105° + 15°) + cos (105° – 15° )]
                                      =       (cos 120°  +  cos 90°)
                                      =        (-   +  0)
                                      =     - 
9.  Buktikan bahwa 2 cos (2x + 45°) cos (2x - 45°) = cos 4x
     Jawab :
     2 cos (2x+45°) cos (2x-45°) = cos 4x     =             cos (2x+45°+2x-45°) + cos (2x+45°-2x+45°)
                                                                     =             cos 4x + cos 90°
                                                                     =             cos 4x + 0
                                                                     =             cos 4x (Terbukti)
10.  Hitunglah nilai dari 4 cos 105° sin 75° !
       Jawab :    
       4 cos 105° sin 75°         =     2 [2cos 105° sin 75°]
                                             =     2 [sin (105° + 75°) – sin (105° - 75°)]
                                             =     2 (sin 180° - sin 30°)
                                             =     2 (0 – ½)
                                             =     -1
11.  Tentukan nilai cos 10° + cos 110° + cos 130°
       Jawab :
       cos 10° + cos 110° + cos 130°
       =  cos 10° + (cos 130° + cos 110°)
       =  cos 10° + 2 cos ½ (130° + 110°) cos ½ (130° – 110°)
       =  cos 10° + 2 cos 120° cos 10°
       =  cos 10° + 2 (-1/2) cos 10°
       =  cos 10° – cos 10°
       =  0
12.  Buktikan     = tan 3x
       Jawab :
           =      
                                      =      
                                      =    
                                      =    
                                      =     tan 3x (Terbukti)
13.  Nyatakan bentuk cos (2x + 60°) + cos (2x – 60°) sebagai perkalian sinus dan cosines !
       Jawab :
       cos (2x + 60°) + cos (2x – 60°)
       =   2 cos ½ (2x + 60° + 2x – 60°) cos ½ (2x + 60° – 2x + 60°)
       =   2 cos ½ (4x) cos ½ (120°)
       =   2 cos 2x cos 60°
14.  Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator. Hitunglah nilai dari cos 165° + cos 105° !
       Jawab :
       Cos 165° + cos 105°            =       2 cos ½ (165° + 105°) . cos ½ (165° – 105°)
                                                    =       2 cos 135° cos 30°
                                                    =       2 (-1/2 )  (1/2
                                                    =       -1/2
15.  Diketahui α + β =   dan cos α cos β = 
       Tentukan nilai cos (α-β) !
       Jawab :
       cos α cos β = 
         (2 cos α cos β) = 
         [cos (α+β) + cos (α-β)]      =      
         [cos   + cos (α-β)]            =      
         [   + cos (α-β)]                 =      
         +   cos (α-β)                     =      
         cos (α-β)                            =      
       cos (α-β)                               =       1
16.  hitunglah nilai dari 2 sin 195° sin 15° !
       Jawab :
       2 sin 195° sin 15°          =     - [cos (195° + 15°) – cos (195° – 15°)]
                                             =     - (cos 210° – cos 180°)
                                             =     - (-1/2  + 1)
                                             =     ½  - 1
      
17. Hitunglah nilai dari cos 195° – cos 75° !
       Jawab :
       cos 195° – cos 75°         =     -2 sin ½ (195° + 75°) sin ½ (195° – 75°)
                                             =     -2 sin 135° sin 60°
                                             =     (-2) (1/2 ) (1/2 )
                                             =     1/2
18.  Hitunglah nilai sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
       Jawab :
       Sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
       =   sin 10° sin 30° (-1/2) (-2 sin 70° – sin 50°)
       =   sin 10° sin 30° (-1/2) (cos 120° – cos 20°)
       =   sin 10° sin 30° (-1/2) (-1/2 – cos 20°)
       =   sin 10° sin 30° (1/4 + ½ cos 20°)
       =   ¼ sin 10° sin 30° + ½ sin 10° sin 30° cos 20°
       =   1/8 sin 10° + ¼ cos 20° sin 10°
       =   1/8 sin 10° + 1/8 (2 cos 20° sin 10°)
       =   1/8 sin 10° + 1/8 (sin 30° – sin 10°)
       =   1/8 sin 10° + 1/8 sin 30° – 1/8 sin 10°
       =   1/8 sin 30°
       =   1/16
19.  Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya α, β, dan y. Jika berlaku sin y = tan β (1 – cos y) !
       Buktikan bahwa segitiga ABC sama kaki !
       Jawab :
       Sin y         =     tan β (1 – cos y)
       Sin y         =       (1 – cos y)
       Sin y cos β      =     sin β – sin β cos y
       Sin β cos y + cos β sin y       =       sin β
       Sin (β + y)                            =       sin β
       Sin (180 – α)                        =       sin β
       Sin α                                     =       sin β
                            α                      =       β
       Karena dua sudutnya sama besar, maka segitiga ABC sama kaki.
20.  Dengan menyatakan 3α = 2α + α, buktikan sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α.
       Jawab :
       sin 3α       =     sin (2α + α)
                        =     sin 2α cos α + cos 2α sin α
                        =     (2 sin α cos α) cos α + (1 – 2 sin2 α) sin α
                        =     2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin3 α
                        =     2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin3 α
                        =     2 sin α - 2 sin3 α + sin α – 2 sin3 α
                        =     3 sin α - 4 sin3 α (Terbukti)
21.  Buktikan bahwa    = tan2 (1/2 Ѳ)
       Jawab :    
             =    
                        =    
                        =    
                        =     tan2 (1/2 Ѳ) (Terbukti)
22.  Misal tan 5° = P
       Tunjukkan bahwa tan 140° =
       Jawab :
       Tan 140°  =     tan (135° + tan 5°)
                        =    
                        =    
                        =        (Terbukti)

23.  Nyatakan bentuk 3 cos (x + y) cos (x – y) sebagai jumlah atau selisih sinus kosinus !
       3 cos (x+y) cos (x-y)     =      [2 cos (x+y) cos (x-y)]
                                             =      [cos (x+y+x-y) + cos (x+y-x+y)]
                                             =      (cos 2x +  cos 2y)

24.  Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin (x + 90) + sin (x – 30) =
           untuk 0° ≤ x ≤ 360° !
       Jawab :
       Sin (x + 90°) + sin (x – 30°)          =    
       2 sin  (x + 90° + x – 30°) cos   (x + 90° – x + 30°)       =         
       2 sin (x + 30°) cos 60°                                                      =         
       2 sin (x – 130°) ( )                                                         =         
       Sin (x + 30°)                                                                     =         
       Sinus bertanda positif di kuadran I dan II sehingga nilai x yang memenuhi adalah
       X + 30° = 60° atau x + 30° = 180° – 60°
       X  =  30°        atau x  =  90°
25.  Diketahui f(x)  =  315 + 2 cos x  cos (x-60)
       Tentukan nilaui minimum dan maksimum f(x)
       Jawab :
       f(x)           =     315 + 2 cos x cos (x-60)
                        =     315 + cos (x + x - 60) + cos (x – x + 60)
                        =     315 + cos (2x – 60) + cos 60
                        =     315 + 60 (2x – 60) + 0,5
       f(x)           =     cos (2x – 60) + 4
       Selanjutnya untuk sembarang nilai x berlaku : -1 ≤ cos (2x + 60) ≤ 1
       -1 + 4       ≤     cos (2x – 60) + 4    ≤     1 + 4
              3        ≤     cos (2x – 60) + 4    ≤     5
             3         ≤     f(x)        ≤     5
       Dari bentuk terakhor kita simpulkanm bahwa nilai minimum  f(x) adalah 3 dan nilai maksimum f(x) adalah 5



Artikel Terkait:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar